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《數學也可以這樣學》Mathematics in Nature- Space and Time



一沙一世界，一花一天堂

飄落的雪花是幾何；太陽月亮是週期；葉子的節點是數列

換個方式學數學，你將發現自然的美麗及宇宙的秩序

華德福式自然學習法，超過200幅彩色圖表

本書是一位任教於華德福教育體系的教師，針對七、八年級學生所發展的教程，廣獲推介引用。藉由大量圖片與作品，引導學生認識大自然、空間以及時間裡的數學。主題包括：幾何學、畢達哥拉斯及數目、柏拉圖多面體、節奏與循環。

華德福的教育方式強調學習與經驗的連結。對教師和家長而言，點燃孩子的學習熱情更勝於填鴨教學。對學生而言，概念與觀察的結合會帶來驚喜與啟蒙。數學不只是計算與公式，更是探索、興趣與應用，也是一項重要生活技能。

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  作者介紹

  
  
  
  
  
  
  約翰．布雷克伍德 John Blackwood
  
  擁有近三十年的機械工程設計經驗，之後受到射影幾何學（Projective Geometry）家勞倫斯．愛德華（Lawrence Edwards）的啟發，開始研究植物幾何學。
  
  曾在澳洲雪梨的史泰納學校（Glenaeon Rudolf Steiner School）教書，設計數學課程。他為十一及十二年級學生設計開發的課程，獲新南威爾斯省的教育部採用。曾出版《大自然中的幾何學》（Geometry in Nature, 2012）。
  
  





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  譯者介紹

  
  
  
  
  洪萬生
  
  臺灣師範大學數學系退休教授，推動「數學史與數學教學之關連」（HPM）的研究與教學已經屆滿二十年。延續數學史與HPM的研究專業，將退休生涯投入數學普及活動之深耕與推廣。目前在臺灣大學兼授以數學小說閱讀為主題的通識課程，開拓普及閱讀的更多可能面向。
  
  email: horng@math.ntnu.edu.tw
  
  廖傑成
  
  任教於新北市立錦和高中，國立臺灣師範大學數學系教學碩士，主修數學史與數學教育，研究領域為江戶初目前房貸利率查詢期日本數學史（和算史）。期望能透過廣泛閱讀並推廣數學科普，使大眾（學生們）與本身更加瞭解數學的內涵與趣味。並期許自己能持續應用數學於其他方面。
  
  email: jenchengqq@gmail.com
  
  陳玉芬
  
  任教於新北巿立明德高中，教學年資25年，並於2013年榮獲教育部教學卓越金質獎，2014年榮獲台灣微軟創意教師數位典藏應用獎特別獎。對於將數學融入於生活的應用與推廣，有極大的興趣。
  
  email: g9247019@gmail.com
  
  彭良禎
  
  臺灣師大數學系碩士，現任國立臺灣師大附中數學科教師。長期致力於多面體DIY教具開發與創意教學設計，相關介紹文章散見於遠哲科學教育基金會《發現月刊》之「魔數Math-Magics」、「藝數家玩摺紙」專欄，與三民網路書店《數學頻道》「公共藝數」專欄。
  
  email: math.magics@gmail.com
  
  
  
  

數學也可以這樣學－目錄導覽說明

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  推薦序
  
  譯者序
  
  導言
  
  第一章 大自然中的數學
  
  ．技巧的複習與回顧 ．圓的形式 ．六邊形的形式 ．螺線的形式
  
  ．阿基米德螺線 ．等角螺線 ．斐波那契數及其數列 ．斐波那契螺線
  
  ． ，斐波那契以及「黃金切割」 ．1.618 或 0.618？
  
  第二章土銀信貸增貸 畢達哥拉斯與數目
  
  ．為何畢達哥拉斯？ ．數目 ．質性的數目 ．各種數目系統
  
  ．十進位數目，指數寫法（長式）和我們普遍的簡寫形式
  
  ．長式和簡式寫法 ．二進位數 ．度量 ．距離與角 ?a href="http://freefen.com/financial/loan">勞工住宅貸款堑亩攘?br/>
  ．熟悉的度量工具 ．數目的種類 ．質數和伊拉托森尼斯篩子軍人信貸
  
  ．質數的篩子 ．畢氏三數組 ．畢氏定理 ．演示 ．婆什迦羅的證明
  
  第三章 柏拉圖立體
  
  ．柏青年安心成家購屋優惠貸款試算拉圖立體 ．歷史上的柏拉圖立體 ．平面圖形
  
  ．三種特殊的直角三角形 ．正立方體摺紙 ．三種三角形的細節
  
  ．碗和馬鞍 ．葉面及其孔洞和皺摺 ．中心點與外圍 ．四面體
  
  ．正四面體在哪裡？ ．和潤車貸ptt正八面體 ．正八面體展開圖 ．正八面體實例
  
  ．正六面體（或正立方體） ．正六面體展開圖 ．正六面體實例
  
  ．交錯穿插的正立方體和正八面體 ．正二十面體與正十二面體
  
  ．正二十面體展開圖 ．正二十面體的黃金分割結構 ．正十二面體
  
  ．再談黃金矩形 ．正十二面體展開圖 ．歐幾里得《幾何原本》第十三冊
  
  ．歐拉法則 ．學生作品
  
  第四章 節奏與週期
  
  ．旋轉、節奏與週期 ．時間 ．輪子 ．圓和直徑
  
  ．圓周與直徑 ．阿基米德應用多邊形的進路 ．用正八邊形來計算
  
  ． 的命名 ． 的遞增精確度 ．圓周 ．微小、中等及巨大的尺寸
  
  ．圓形 ．白天、夜晚及內布拉星象盤 ．奠基於哥白尼的當代基本圖像
  
  ．季節 ．地球繞著太陽的橢圓路徑 ．克卜勒的行星運動定律
  
  ．大的和小的連結 ．人類和宇宙的節奏
  
  謝詞
  
  參考文獻
  
  索引
  
  

推薦序

洪萬生

幫助學生體會數學（美）無所不在

這一兩年來，「另類的」數學普及書籍成為出版商的注目焦點。以今年出版的作品為例，除了數學小說（mathematical fiction）文類的繼續風行之外，像《這才是數學》這一類的書寫，高舉數學教育的基進（radical）改革旗號，內容基調卻回歸古典（classical），總是帶給我們一種「今昔時空」疊置，不知身心何所依違之感。不過，也正因為這種既在地又抽離的處境，讓我們可以從容地體會數學的如何有趣，甚至如何有用。

本書《數學也可以這樣學》就是另一本這樣一類的數學普及作品，儘管其中包括作者教給七、八年級學生的主要數學課程內容。作者約翰?布雷克伍德任教於澳洲史泰納學校――華德福實驗教育系統的一環，因而本書也被納入華德福教育資源（Waldorf Education Resources）叢書。平心而論，作者的數學觀點不如《這才是數學》的作者來得基進，不過，堅持數學的某些進路與練習，則並無二致。而所有這些，則都指向數學的有趣面向。譬如說吧，本書的英文原版書名《 Mathematics in Nature, Space and Time》，就是企圖說明數學在天生自然領域、在空間脈絡以及在時間的流變中的無所不在。作者更是利用本書例證，強調「數學是描述世界的一種語言――上帝所創造的一種語言」。對他來說，數學是一種真正的門道或法門，「引領我們走向大自然之工作室（workshop of nature）的漸增理解」，因為「吾人可以相信不僅存有諸神，而且也可以對祂們#如何#運作產生興趣」。換言之，數學在大自然界中的無所不在，都是上帝的神工，而理解或鑑賞它們的不凡與美妙，則是榮耀上帝的一條進路。

數學實作（mathematical practice）可以「接近神蹟」的華德福教育哲學主張，正是十八世紀西方自然神學（natural theology）的現代翻版。顯然，這種主張就是將數學實作類比為一種「靈修」的過程。因為誠如史泰納（Rudolf Steiner）在他的《靈性活動的哲學》所指出，「有了（數學）思維活動，我們已經掌握了靈性的一個小小的角落。」

既然是靈修，那麼，數學實作回歸古典，依循古代哲人的進路，似乎是勢所必然。這或許也解釋了何以作者那麼鍾愛希臘古典幾何學中的尺規作圖。事實上，本書第一章一開始的練習一和二，就依序是（在給定線段上）作垂線，以及二等分角的尺規作圖。而全書的尺規作圖練習，則多達十幾個。可見，作者在繪製幾何圖形時，就十分貼近地呼應希臘古典幾何的「精確」要求。

希臘數學家，比如最具代表性的歐幾里得，就視「精確圖形」與「尺規作圖」是一體兩面。所謂尺規作圖，是指運用圓規與沒有刻度的直尺，在有限多次的步驟中，畫出一個圖形。這是古希臘歐幾里得在他的經典《幾何原本》中，所允許使用的作圖方法。按照他的主張，只要不是運用這種方法所作出來的圖形，就不能稱之為存在，因而也就不是數學研究的合法對象。這種合法性（legitimacy）由於結合了嚴格的邏輯證明，使得圖形的「精確」顯得理所當然，從而它們的「存在」也就無庸置疑了。

現在，讓我們簡要介紹本書內容。按照知識內容來分類，各章主題依序是幾何、數論（number theory）、柏拉圖立體，以及克卜勒三大行星運動定律。 有關最後一章的科學史敘事，作者認為克卜勒的不朽成就，完全在於他「對大自然的節奏理解」，因而可以「成為真正的自然科學」。此外，作者還針對人體（小宇宙）和大宇宙的節奏之對應關係，指出人類可視為巨觀中的微觀，於是，「男人是由上帝的形象造成的」，乃成為數學靈修的最後徹悟。

至於本書前三章內容都曾經在《幾何原本》出現，再度地見證這部偉大經典在作者心目中的地位。事實上，《幾何原本》討論的部份主題如下：第 I、III 及 IV 冊是平面幾何；第 XI-XII 冊是立體幾何；第 VII-IX 冊是數論，還有，第XIII一冊，亦即最後一冊，則是柏拉圖立體。附帶一提，這最後一冊的內容與前面各章幾何學（無論平面或立體）之關連，看起來在融貫性（coherence）方面上較為不足；亦即，這五個柏拉圖正立方體的存在，顯然並非歐氏幾何學知識系統不可或缺的一環，儘管本冊的所有命題之證明，當然還是完全依賴前面（相關）的命題。對於這樣的安排，數學史家猜測這是歐幾里得為了向柏拉圖「交心」，因為在有關知識本質方面，《幾何原本》被認為比較偏向亞里斯多德，他認為數學是被發明的，不過，他的師傅柏拉圖卻主張數學是被發現的，兩者明顯地有所不同。如將柏拉圖在《蒂邁歐篇》（Timaeus）中所塑造的造物主，轉換為基督教的上帝，那麼，作者的數學觀貼近柏拉圖主義，也就不言可喻了。

柏拉圖數學哲學所引伸出來的認知方法當然有其侷限，因為他的《米諾篇》（Meno）基於人生而有知，而認為知識是吾人只需經由「啟發」即可恢復的「前世」記憶（recollecting）。不過，本書所布置的數學練習，卻大大彌補了這個不足。經由摺紙及立體模型之（動手）製作，再輔以本書一再出現的尺規作圖，作者具體呈現了數學知識是吾人經由實作、再發明（re-inventing）而獲得的過程。這種「默合」亞里斯多德的現身說法，對於現代的數學教學現場，其實蠻具有提醒的功用，非常值得我們注意。

以上，我針對柏拉圖 vs. 亞里斯多德在（數學）認識論（epistemology）上的歧異，做了一點起碼的釐清。我的目的之一，無非是想要指出：儘管華德福的教育實驗，是基於他們首重靈性活動的教房子增貸條件育哲學，然而，無論他們的認識論是否完備，甚至是否可以讓本書內容來佐證，從教育的所謂成效來看，其實都無關宏旨。這是因為如果第七、八年級階段的數學教育理想，是希望幫助學生體會數學（美）無所不在，從而通過模式（pattern）的掌握來學習它如何有用，那麼，本書內容就可以在我們的學校課程中，佔有一席之地了。

這麼說來，我們又將如何善用本書呢？為了要好好地感受數學那種令人無比驚奇的美，我強烈建議讀者好好地跟隨作者，做那五十八道練習。同時，我也希望讀者好好品味本書插圖，尤其是學生的作品，更是我們老師鼓勵學生在解題之外，應該著力的數學知識活動之範例。總之，本書是一本「另類的」數學普及作品，如果你也能運用另類的眼光來看待它，那麼，你就會有意想不到的收穫。

本文作者為臺灣師範大學數學系退休教授

推薦序

孫文先

為數學教育提供一條新路

英國數學家羅素（Bertrand Russell, 1872-1970）曾經說：「數學，如果正確地看，它不但擁有真理，而且也具有至高的美......。」更有許多數學家讚嘆數學具有簡潔性、和諧性、奇異性的美，它們以數學的符號美、抽象美、統一美、和諧美、對稱美、形式美、有限美、奇異美、神祕美、常數美等形式體現出來。義大利數學及物理學家伽利略（Galileo Galilei, 1564-1642）也曾經說過：「數學是上帝用來書寫宇宙的文字......它的符號是一些三角形、圓形等幾何圖形，沒有藉諸它們的幫助，我們就不可能理解任何一個字。」意即在宇宙、自然界、日常生活與動植物行為中，處處都存在著數學的蹤跡。

但是在我國的數學課堂中，傳授的內容幾乎只是有名無實的抽象概念、煩悶的計算與公式，老師的講課也是一道題目接著一道題目的解題，只期望學生能在各類型的考試中取得好成績。鮮有老師會花點時間告訴學生：巴特農神殿、人體上的黃金比；葉子在莖上以夾角為137°28" 的黃金角排列，這樣使得通風、採光最好；花瓣的數量通常是3, 5, 8, 13, 21......的斐波那契數，而斐波那契數列前後兩項比趨近於黃金比；蜂房的構造之夾角為 109°28" 與 70°32'，這是最省材料的結構；飛雁飛行成人字形，一邊與其飛行方向夾角是 54°4"8'，這是阻力最小的飛行方式。老師們也很少提及：雅格布伯努利（Jakob Bernoulli, 1654-1705）所謂「雖然改變了，我仍然和原來一樣」的對數螺線；內接於圓的四邊形中，以正方形面積最大，但內接於球的六面體中，體積最大的不是正六面體，而其他面數的多面體都是以正的多面體體積最大；萊布尼茲藉由中國的易經的啟發，發展二進制，成為現代科學、計算機、密碼學等研究的重要工具；德國醫生發現人體潮汐現象、體力週期23天、情緒週期28天、智力週期33天，它們都呈現正弦曲線的變化。更幾乎沒有老師願意利用課堂或課餘時間，指導學生繪製或摺疊正多面體模型。在這樣的教學風氣下，無怪乎我們的學童徒具數學解題知識，而空間想像能力匱乏、動手操作能力笨拙、美學素養貧瘠。

導論



一篇發表於《雪梨晨間先鋒報》（Sydney Morning Herald）的文章（2001年12月20日），引述了服務於家長所經營的教會學校的梅卡飛（John Metcalfe）所說的一段話：「孩子被教導說，數學是一種描述世界的語言――上帝所創造的一種語言……」



這也是我多年來的感受，而且，只要嚴肅以對，我認為這是可以走得非常遠的一條進路。這條進路認為自然這本書（book of nature）有個祕密等著被揭露，還有，我們這個世界遠遠不只是一個長程的、機率般的偶然遇合，也不是透過各種令人不安的推斷過程而可以加以計算的，沒有任何具實務經驗的工程師會夢想可以這麼做。當然，吾人可以提出更多觀點，畢竟任#唯物論式#（materialistic）的科學壟斷了客觀性，是完全沒有道理的。



唯名論或是諸神的語言



有一種觀點主張，數學的世界是一些便利的理念（idea）的一種#唯名論式#（nominalistic）且抽象的集合體。這些理念本身少有（即使有）真實意義，有的只是與理解「外在」（out there）世界有關的便利性與實用價值。這種觀點雖然已經被思慮周延的學者們所批評，不過數學是如此有用的這個事實，我們通常是視而不見。



另一種觀點認為，數學，在多元的意義上，是諸神的一種語言。可以說，我們的心智對數學與幾何概念的理解，是「讓這個世界發生」的那些作用力最後的殘餘。這種觀點並不是假定我們所擁有的思想是知識性的便利，只是心智的影子，而認為它是一種真正的通道，引領我們進一步了解大自然這個工作室（workshop of nature）。吾人可以相信不僅存有諸神，甚至有可能去理解祂們#如何#運作。這一直是我的態度，而且我發現經由大自然所展現的奇蹟，以及我們正在研究的這個主題之美，我更加確定此事。



對我來說，莎士比亞的「思想的蒼白投射」只適用於我們現在淺薄的智性，而非思想生命可以到達的最終境界――正如魯道夫?史泰納（Rudolf Steiner）在他的《靈性活動的哲學》（Philosophy of Spiritual Activity）一書所指出的：「有了思維活動，我們已經掌握了靈性的一個小小的角落。」



無庸置疑，在這些角落中，還有各種變貌，而這整件事情可以無止境地辯論下去。儘管有著知識論上的精確，數學概念與細心觀察的現象之協合所帶來的驚喜，還是可以讓我們忙於探索、好奇，以及深感興趣――它們無疑也是重要的。